Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，∠ACE=45°，点F是AC的中点，AD与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE=∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BCAD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的个数有（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；

②根据ASA证明即可，结论正确；

③利用面积法证明即可，结论正确；

④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确.

∵CE⊥AB，∠ACE=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AF=CF，

∴EF=AF=CF，

∴△AEF，△EFC都是等腰直角三角形，

∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，

∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC，

∴∠EAH=∠BCE，

∵AE=EC，∠AEH=∠CEB=90°，

∴△AHE≌△CBE，故②正确，

∵S△ABC=BCAD=ABCE，AB=AC=AE，AE=CE，

∴BCAD=CE2，故③正确，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABC=2S△ADC，

∵AF=FC，

∴S△ADC=2S△ADF，

∴S△ABC=4S△ADF．

故选C．