Question

16．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，DE，BE，过点A作AE的垂线交ED于点P，连接BP，AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$，有下列结论：
①△APD≌△AEB
②点B到直线AE的距离为$\sqrt{2}$；
③EB⊥ED；
④S_△APD+S_△APB=1+$\sqrt{6}$；
⑤S_{正方形ABCD}=4+$\sqrt{6}$，
则正确的结论是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②⑤
• C． ③④⑤
• D． ①③⑤

Answer 1

分析 ①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB²，即是正方形的面积．

解答 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}&{\;}\\{∠EAB=∠PAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项正确；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；故此选项正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，PE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BF=EF=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故此选项错误；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=$\sqrt{2}$，
又∵PB=$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{3}$，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}-$\frac{1}{2}$×DP×BE=$\frac{1}{2}$×（4+$\sqrt{6}$）-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故此选项错误．
⑤∵EF=BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=4+$\sqrt{6}$，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=4+$\sqrt{6}$，
故此选项正确．
故选：B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．