Question

4．如图，在等边△ABC中，AB=4，点E在BC边上，将射线AE绕点A逆时针旋转60°，与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F，连接AF．设BE=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质得到AH=2$\sqrt{3}$，求得S_△ABC=$\frac{1}{2}×$4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=60°，根据全等三角形的性质得到CF=BE=x，过F作FG⊥BD于G，求得FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，推出S_{四边形AECF}=S_△ABC=4$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：过A作AH⊥BC于H，
∵在等边△ABC中，AB=4，
∴AH=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×$4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵射线AE绕点A逆时针旋转60°，
∴∠EAF=∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∵CF平分∠ACD，∠ACD=120°，
∴∠ACF=∠DCF=60°，
在△ABE与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=x，
过F作FG⊥BD于G，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵CE=4-x，
∴S_△ECF=$\frac{1}{2}$EC•FG=$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∵△ABE≌△ACF，
∴S_{四边形AECF}=S_△ABC=4$\sqrt{3}$，
∴y=S_{四边形AECF}-S_△ECF=4$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
故答案为：y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．