Question

如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A₁；AD的中点E的对应点记为E₁，若△E₁FA₁∽△E₁BF，则AD=________．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，然后求出BE₁，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E₁F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．
解答：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC===8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A₁，点E的对应点为E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴=，
即=，
解得DF=x，
在Rt△DE₁F中，E₁F===，
又∵BE₁=AB-AE₁=10-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴=，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（）²=x（10-3x），
解得x=，
∴AD的长为2×=．
故答案为：．
点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．