Question

阅读理解：对于任意正实数a、b，∵≥0，　∴≥0，

∴≥，只有当a＝b时，等号成立．

结论：在≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a＝b时，a+b有最小值．

根据上述内容，回答下列问题：

若m＞0，只有当m＝     时，     ．

思考验证：如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB＝b．

试根据图形验证≥，并指出等号成立时的条件．

探索应用：如图2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P为双曲线（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

 

Answer 1

【答案】

解：阅读理解：m=  1  （填不扣分），最小值为 2  ；   

思考验证：∵AB是的直径，∴AC⊥BC,又∵CD⊥AB,∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B,

∴Rt△CAD∽Rt△BCD,   CD²=AD·DB,    ∴CD=      　　

若点D与O不重合，连OC，在Rt△OCD中，∵OC>CD, ∴，

若点D与O重合时，OC=CD,∴ 　

综上所述，，当CD等于半径时，等号成立.

 探索应用：设,　则,，

，化简得： 

，只有当

∴S≥2×6＋12＝24，

∴S_{四边形ABCD}有最小值24.     

此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD是菱形．

【解析】阅读理解：读懂题意即可得到结果；

思考验证：先证Rt△CAD∽Rt△BCD，根据相似三角形的对应边乘比例即可表示出CD，分两种情况讨论：

若点D与O不重合，连OC，在Rt△OCD中，；若点D与O重合，

综上所述，，当CD等于半径时，等号成立.

探索应用：设出点P的坐标，即可表示出CA、DB，从而得到四边形ABCD面积的函数关系式，根据函数关系式的特征即可得到结果。