【题目】如图,在△ABC中,∠C=45°,∠BAC=90°,点A为( ,0)、点B为(0,1),坐标系内有一动点P,使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等,则P点坐标为 .
【答案】(1, +1),(2 ,﹣1),(2 +1, ﹣1)
【解析】解:∵点A坐标为( ,0)、点B坐标为(0,1),
∴OA= ,OB=1,
∴AB= =2
∵∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴AB=AC=2,BC=2 ,
△ABC与△ACP全等分为三种情况:
①如图1,延长BA到P,使AB=AP,连接CP,过P作PM⊥x轴于M,
则∠AOB=∠AMP=90°
在△AOB和△AMP中,
∵ ,
∴△AOB≌△AMP(AAS),
∴AM=AO= ,MP=OB=1,
故点P的坐标为(2 ,﹣1);
②如图2,过点C作CP⊥AC,使CP=AB,则△ABC≌△CPA,
故∠PAC=∠ACB=45°,AP=BC=2 ,
过P作PM⊥x轴于M,此时∠PAM=15°,在x轴上取一点N,使∠PNM=30°
∴∠PAM=∠APN=15°,即NA=NP,
设PM=x,则PN=AN=2x,NM= x,
在RT△APM中,∵AP2=AM2+PM2 ,
∴(2 )2=(2x+ x)2+x2 , 解得:x= ﹣1,
则AM=OA+2x+ x=2 +1,
故点P的坐标为(2 +1, ﹣1);
③如图3,
作CP⊥AC,使CP=AB,连接BP,则△ABC≌△CPA,
∵∠BAC=∠PCA=90°,且CP=AB,
∴四边形ABPC是矩形,
∴AB=BP,∠ABP=90°,即∠ABO+∠PBM=90°,
过点P作PM⊥y轴,则∠BPM+∠PBM=90°,
∴∠ABO=∠BPM,
在△AOB和△BMP中,
∵ ,
∴△AOB≌△BMP(AAS),
∴BM=OA= ,PM=OB=1,
故点P的坐标为(1, +1);
综上,点P的坐标为(1, +1),(2 ,﹣1),(2 +1, ﹣1).
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①抛物线的开口向下; ②对称轴为直线x=1; ③顶点坐标为(﹣1,3);④x>1时,y随x的增大而减小
A. 1B. 2C. 3D. 4
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