【题目】在中,,为斜边上的中线;在中,,,且.连接,点、点分别为线段的中点,连接.
如图1,当点在内部时,求证:
如图2,当点在外部时,连接,判断与的数量关系,并加以证明;
将图1中的绕点旋转,在旋转的过程中,请直接回答:
①中的与的数量关系是否发生了变化?
②若,当点三点在同一条直线上时,请直搂写出的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)①与的数量关系不变;②或
【解析】
(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可;
(2)根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知:由等边对等角可知再由平行线的性质可知因此得出:,所以证得△EMN≌△DNC进而得出结论;
(3)①借助(2)得出结论;
②分两种情况,如图,先判断出点N是以点D为圆心,为半径的圆上,即可得出结论.
(1)证明,在中
是斜边上的中线
在中,点分别是边的中点,
(2)CN与的数量关系是
证明:如图,连接。
在中,是斜边上的中线,
在中,点是斜边的中点,
中,点、点、点分别为线段的中点,
,
即
(3)①与的数量关系不变
与(2)同理可证;
②或
分两种情况,如图,
由(2)可知:点N在以点D 为圆心,为半径的圆上,
在Rt△ABC中,CD是AB边上的中线,
∴CD=AB=a
∵点D、N分别是AB、BF的中点,
∴DN=AF=b
∴CN最大=CD+DN=,CN最小=CD-DN=
由(2)可知:EN=CN
∴EN最大=,EN最小=
∴EN的最大值为,EN的最小值为
∴EN的值为或者
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【题目】在菱形中,,点是对角线上一动点,将线段绕点顺时针旋转120°到,连接,连接并延长,分别交于点.
(1)求证:;
(2)已知,若的最小值为,求菱形的面积.
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【题目】如图,AB是直经,D是的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)试探究AE,AD,AB三者之间的等量关系.
(3)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
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【题目】如图,已知顶点为的抛物线过点,交轴于两点,交轴于点,点是抛物线上一动点.
求抛物线的解析式;
当点在直线上方时,求面积的最大值,并求出此时点的坐标;
过点作直线的垂线,垂足为,若将沿翻折点的对应点为点.是否存在点,使恰好落在轴上?若存在,求出点的坐标:若不存在,说明理由.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),其对称轴为直线x=1,下列结论中正确的是( )
A. abc>0 B. 2a-b=0 C. 4a+2b+c<0 D. 9a+3b+c=0
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点P在BC上.
(1)求作:△PCD,使点D在AC上,且△PCD∽△ABP;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC,求证:PD//AB.
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【题目】为了落实党的“精准扶贫”政策,A、B两城决定向C,D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A、B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨:从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.
(1)A城和B城各有多少吨肥料?
(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元,求y与x的函数关系式.
(3)怎样调运才能使总运费最少?并求最少运费.
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【题目】如图,,,三点在上,直径平分,过点作交弦于点,在的延长线上取一点,使得.
(1)求证:是的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边△A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边△A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边△A3A2B3,…,则点A2 018的横坐标是_____________.
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