如图.在平面直角坐标系中.⊙O是以原点O为圆心.半径为2的圆.P是在第一象限内.⊙O上一动点.过点P作⊙O的切线分别与x.y轴相交于点A.B．(1)当点P为AB中点时.请直接写出P点坐标,(2)点P在运动时.线段AB的长度也在发生变化.请求线段AB的最小值.并说明理由,(3)在⊙O上是否存在一点Q.使得以Q.O.A.P为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出Q点的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，⊙O是以原点O为圆心，半径为2的圆，P是在第一象限内，⊙O上一动点，过点P作⊙O的切线分别与x，y轴相交于点A、B．
（1）当点P为AB中点时，请直接写出P点坐标；
（2）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请求线段AB的最小值，并说明理由；
（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用切线的性质和点P为AB的中点可以得到OP垂直平分AB，从而求得点P的坐标；
（2）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，所以当OC与OP重合时，OC最短；
（3）分两种情况：如图（1），当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（

，-

），如图（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（-

，

）．

解答：

解：（1）如图，作PM⊥OA于点M，
∵点P为AB中点，AB切⊙O于点P，
∴∠POM=45°，
∵PO=2
∴PM=OM=

，
∴点P的坐标为：（

，

）

（2）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
如图1连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4；

（3）设存在符合条件的点Q，
如图3，设四边形APOQ为平行四边形；
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ为矩形，
又∵OP=OQ，
∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（

，-

）；
如图4，设四边形APQO为平行四边形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q点坐标为（-

，

）．
∴符合条件的点Q的坐标为（

，-

）或（-

，

）．

点评：本题利用了切线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质求解，综合性强，难度较大．

练习册系列答案

名师名题单元加期末冲刺100分系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

解方程组：
（1）

3x+y=8

2x-3y=-2

（2）

5(x-9)=6(y-2)

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．在形成和发展过程的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．在我市鼓楼河沿岸、扬子公园等地随处可见，有如长虹卧波，造型优美．
（1）如图弧AB是拱桥的一部分，请确定弧AB所在圆的圆心O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若拱桥在水面MN上的跨度AB为8米，拱桥弧AB与水面MN的最大距离为3米，求拱桥所在圆的半径．