Question

【题目】如图在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s，设点P的运动时间为t，过P点作AC的平行线交AB与点N，连接AP，

（1）请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长，

（2）当t为何值时，△APN的面积等于△ACP面积的三分之一？

（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得△APN的面积有最大值，若存在请求出t的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） PN=t，AN =5﹣t；（2）当t为s时，△APN的面积等于△ACP面积的三分之一；（3）t=2时，△PAN的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AB，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN、BN即可解决问题；

（2）由题意：PNPC＝×PCAC，推出AC＝3PN，由此构建方程即可解决问题；

（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB==5（cm），

∵PN∥AC，PB=t，

∴==，

∴==，

∴BN=t，PN=t，

∴AN=AB﹣BN=5﹣t．

（2）由题意：PNPC=×PCAC，

∴AC=3PN，

∴3=3t，

∴t=，

∴当t为2s时，△APN的面积等于△ACP面积的三分之一．

（3）由题意：S△APN=PNPC=t（4﹣t）=﹣（t﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴t=2时，△PAN的面积最大，最大值为．