Question

【题目】（1）已知如图1，在中，，，点在内部，点在外部，满足，且．求证：．

（2）已知如图2，在等边内有一点，满足，，，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）150°

【解析】

（1）先证∠ABD =∠CBE，根据SAS可证△ABD≌△CBE；

（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．根据旋转性质得△PCQ是等边三角形，根据等边三角形性质证△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根据勾股定理逆定理可得∠AQP=90°，进一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.

（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE

∴∠ABC=∠DBE=90°

即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE

∴∠ABD =∠CBE．

又∵AB=CB，BD=BE

∴△ABD≌△CBE（SAS）．

（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．

由旋转知识可得：

∠PCQ =60°，CP=CQ=3，

∴△PCQ是等边三角形，

∴CP=CQ=PQ=3．

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，

∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．

在△BCP与△ACQ中

∴△BCP≌△ACQ （SAS）

∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．

又∵PA=5，

∴．

∴∠AQP=90°

又∵△PCQ是等边三角形，∴∠PQC=60°

∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°

∴∠BPC=150°．