Question

【题目】在ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处．

（1）求证：△A′ED≌△CFD；

（2）连结BE，若∠EBF=60°，EF=3，求四边形BFDE的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

由由翻折可知：AB=A′D，∠ABC=∠A′DF，∠EFB=∠EFD，由平行四边形的性质知，AB=CD，∠ABC=∠ADC,进一步可证∠FDC=∠A′DE, A′D=CD.再结合平行线的性质说明ED=DF，即可证明△A′ED≌△CFD；

（2）先证明四边形EBFD为菱形，从而BE=BF=3.过点E作EH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的知识求出EH的长，然后利用三角形面积公式计算即可.

（1）证明：由翻折可知：

AB=A′D，∠ABC=∠A′DF，∠EFB=∠EFD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠ABC=∠ADC,

∴∠ADC=∠A′DF,

∴∠FDC=∠A′DE,

∵AB=A′D，AB=CD，

∴A′D=CD.

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB，

∵∠EFB=∠EFD，

∴∠DEF=∠EFD，

∴ED=DF，

∴△A′ED≌△CFD；

（2）解：∵AD∥BC，A′B∥DF，

∴四边形EBFD为平行四边形.

由（1）DE=DF，

∴四边形EBFD为菱形.

∵∠EBF=60°，

∴△BEF为菱形.

∵EF=3，

∴BE=BF=3.

过点E作EH⊥BC于点H，

∴四边形BFDE的面积为：sin60°AEBF=.