【题目】如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=(x﹣1)2﹣4,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(3m+1)x+2m2+m(m>0),与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.
(1)求2x1﹣x2+3的值;
(2)当m=2x1﹣x2+3时,将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边),求n的取值范围(直接写出答案即可).
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【题目】(1)如图1,△ABC中,作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.
①求证:OE=BE.
②若△ABC的周长是25,BC=9,试求出△AEF的周长.
(2)如图2,若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P,连接AP,若∠BAC=80°,∠PAC的度数?
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【题目】如图,四边形ABCD中,F是CD上一点,E是BF上一点,连接AE、AC、DE.若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC,则下列结论中:①△ABE≌△ACD:②BE=EF;③∠BFD=110°;④AC垂直平分DE,正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,点P在AC上运动,点D在AB上,PD始终保持与PA相等,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.
(1)判断DE与DP的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE的长.
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【题目】在ABCD中,E、F分别是AD、BC上的点,将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折,使点B与点D重合,且点A落在点A′处.
(1)求证:△A′ED≌△CFD;
(2)连结BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积.
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【题目】如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,
AD平分∠CAB,BD是⊙O的切线,AD与BC相交于点E.
(1)求证:BD=BE;
(2)若DE=2,BD=,求CE的长.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,B为线段OA的中点,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M,点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式;
(2)判断△BDC的形状,并给出证明;当P在什么位置时,以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形,并求出此时点P的坐标;
(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:①能否成为菱形;②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】(1)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图①,△ABC中,若AB=13,AC=9,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
(2)如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且∠FAE=∠AFE.若AE=4,EC=3,求线段BF的长.
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