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【题目】如图,平面直角坐标系中,点A、B、Cx轴上,点D、Ey轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,B为线段OA的中点,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M,点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQy轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式;

(2)判断△BDC的形状,并给出证明;当P在什么位置时,以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形,并求出此时点P的坐标;

(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:①能否成为菱形;②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)△BDC是直角三角形,证明见解析;POC是等腰三角形时,点P坐标是(﹣1+,1+)或(2,4);(3)不能成为菱形理由见解析;②能成为等腰梯形点P的坐标是(2.5,4.5).

【解析】

(1)利用待定系数法列方程组求二次函数的解析式.(2)利用勾股定理的逆定理,判断直角三角形.(3)分别设出P,Q点坐标,按照菱形的条件,等腰梯形的条件,分别求P点坐标,判断是否存在.

(1)B(﹣1,0)E(0,4)C(4,0)设解析式是y=ax2+bx+c

可得,

解得,

y=x2+3x+4;

(2)BDC是直角三角形,

BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=(BO+CO2=25

BD2+DC2=BC2

∴△BDC是直角三角形.

A坐标是(﹣2,0),点D坐标是(0,2),

设直线AD的解析式是y=kx+b,则,

解得:,

则直线AD的解析式是y=x+2,

设点P坐标是(xx+2)

OP=OCx2+(x+2)2=16,

解得:x=﹣1±x=1-(不符合,舍去)此时点P(﹣1+,1+

PC=OC时(x+2)2+(4﹣x2=16,方程无解;

PO=PC时,点POC的中垂线上,

∴点P横坐标是2,得点P坐标是(2,4);

∴当POC是等腰三角形时,点P坐标是(﹣1+1+)或(2,4);

(3)点M坐标是(,,点N坐标是(,MN=

设点P为(xx+2),Qx,﹣x2+3x+4),则PQ=x2+2x+2

①若PQNM是菱形,则PQ=MN,可得x1=0.5,x2=1.5

x2=1.5时,点P与点M重合;当x1=0.5时,可求得PM=所以菱形不存在.

②能成为等腰梯形,作QHMN于点H,作PJMN于点J,则NH=MJ

﹣(﹣x2+3x+4)=x+2﹣

解得:x=2.5,

此时点P的坐标是(2.5,4.5).

 

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