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【题目】如图,点P⊙O的直径AB的延长线上,PC⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点APC的垂线,点D为垂足,AD⊙O于点E.

(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;

(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,,连接EF,过点FAD的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;

(3)(2)的条件下,如图3,若AE=DG,PO=5,求EF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=3

【解析】

(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;
(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;
(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出EH∥DG,求出OM=AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,
求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=tanP=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=k=5求出k=,根据勾股定理求出a,即可求出答案.

(1)证明:连接OC,

PC为⊙O的切线,

OCPC,

ADPC,

OCAD,

∴∠OCA=DAC,

OC=OA,

∴∠PAC=OCA,

∴∠DAC=PAC;

(2)证明:连接BEGFH,连接OH,

FGAD,

∴∠FGD+∠D=180°,

∵∠D=90°,

∴∠FGD=90°,

AB为⊙O的直径,

∴∠BEA=90°,

∴∠BED=90°,

∴∠D=HGD=BED=90°,

∴四边形HGDE是矩形,

DE=GH,DG=HE,GHE=90°,

∴∠HEF=FEA=BEA==45°,

∴∠HFE=90°﹣HEF=45°,

∴∠HEF=HFE,

FH=EH,

FG=FH+GH=DE+DG;

(3)解:设OCHEM,连接OE、OF,

EH=HF,OE=OF,HO=HO,

∴△FHO≌△EHO,

∴∠FHO=EHO=45°,

∵四边形GHED是矩形,

EHDG,

∴∠OMH=OCP=90°,

∴∠HOM=90°﹣OHM=90°﹣45°=45°,

∴∠HOM=OHM,

HM=MO,

OMBE,

BM=ME,

OM=AE,

OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,

∵∠HGC=GCM=GHE=90°,

∴四边形GHMC是矩形,

GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,

DG=HE,GC=HM,

ME=CD=2a,BM=2a,

RtBOM中,tanMBO=

EHDP,

∴∠P=MBO,

tanP=

OC=k,则PC=2k,

RtPOC中,OP=k=5,

解得:k=,OE=OC=

RtOME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,

a=1,

HE=3a=3,

RtHFE中,∠HEF=45°,

EF=HE=3

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