Question

【题目】(1)如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.

①求证：OE=BE.

②若△ABC的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长.

(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC=80°，∠PAC的度数？

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②16；（2）50°

【解析】

（1）①由角平分线的性质、等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据三角形的周长公式即可得到结论；

（2）延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，根据角平分线的性质先证的PF=PM，得出∠FAP=∠PAC即可得出答案.

（1）①∵BO平分∠ABC

∴∠EBO=∠OBC

∵EF∥BC

∴∠EOB=∠OBC

∴∠EOB=∠EBO

∴OE=BE；

②同理可得：OF=FC

∵△ABC的周长是25，BC=9

∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16；

（2）延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：

∵CP平分∠ACD，

∴PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴PF=PN，

∴PF=PM，

∴∠FAP=∠PAC，

∴∠FAC=2∠PAC，

∵∠FAC+∠BAC=180°，

∴2∠PAC+∠BAC=180°

∴2∠PAC+80°=180°

∴∠PAC=50°.