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【题目】如图,直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C;抛物线y=x2+bx+c经过点B、C,与x轴的另一个交点为点A(点A在点B的左侧),对称轴为l1,顶点为D.

(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式.

(2)点M(0,m)为y轴上一动点,过点M作直线l2平行于x轴,与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3),且x2>x1>0.

①结合函数的图象,求x3的取值范围;

②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,求m的值.

【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)①0<x3<4,②m的值为或1.

【解析】

(1)由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标,再代入y=x2+bx+c求得b、c的值,即可求得抛物线的解析式;(2)①先求得抛物线的顶点坐标为D(2,﹣1),当直线l2经过点D时求得m=﹣1;当直线l2经过点C时求得m=3,再由x2>x1>0,可得﹣1<y3<3,即可﹣1<﹣x3+3<3,所以0<x3<4;②分当直线l2x轴的下方时,点Q在点P、N之间和当直线l2x轴的上方时,点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.

(1)在y=﹣x+3中,令x=0,则y=3;

y=0,则x=3;得B(3,0),C(0,3),

将点B(3,0),C(0,3)的坐标代入y=x2+bx+c

得:,解得

y=x2﹣4x+3;

(2)∵直线l2平行于x轴,

y1=y2=y3=m,

①如图①,y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴顶点为D(2,﹣1),

当直线l2经过点D时,m=﹣1;

当直线l2经过点C时,m=3

x2>x1>0,

﹣1<y3<3,

即﹣1<﹣x3+3<3,

0<x3<4,

②如图①,当直线l2x轴的下方时,点Q在点P、N之间,

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,则得PQ=QN.

x2>x1>0,

x3﹣x2=x2﹣x1

x3=2x2﹣x1

l2x轴,即PQx轴,

∴点P、Q关于抛物线的对称轴l1对称,

又抛物线的对称轴l1x=2,

2﹣x1=x2﹣2,

x1=4﹣x2

x3=3x2﹣4,

将点Q(x2,y2)的坐标代入y=x2﹣4x+3

y2=x22﹣4x2+3,又y2=y3=﹣x3+3

x22﹣4x2+3=﹣x3+3,

x22﹣4x2=﹣(3x2﹣4)

x22﹣x2﹣4=0,解得x2=,(负值已舍去),

m=(2﹣4×+3=

如图②,当直线l2x轴的上方时,点N在点P、Q之间,

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,则得PN=NQ.

由上可得点P、Q关于直线l1对称,

∴点N在抛物线的对称轴l1:x=2,

又点N在直线y=﹣x+3上,

y3=﹣2+3=1,即m=1.

m的值为1.

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