【题目】如图,直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C;抛物线y=x2+bx+c经过点B、C,与x轴的另一个交点为点A(点A在点B的左侧),对称轴为l1,顶点为D.
(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式.
(2)点M(0,m)为y轴上一动点,过点M作直线l2平行于x轴,与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3),且x2>x1>0.
①结合函数的图象,求x3的取值范围;
②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,求m的值.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)①0<x3<4,②m的值为或1.
【解析】
(1)由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标,再代入y=x2+bx+c求得b、c的值,即可求得抛物线的解析式;(2)①先求得抛物线的顶点坐标为D(2,﹣1),当直线l2经过点D时求得m=﹣1;当直线l2经过点C时求得m=3,再由x2>x1>0,可得﹣1<y3<3,即可﹣1<﹣x3+3<3,所以0<x3<4;②分当直线l2在x轴的下方时,点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时,点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.
(1)在y=﹣x+3中,令x=0,则y=3;
令y=0,则x=3;得B(3,0),C(0,3),
将点B(3,0),C(0,3)的坐标代入y=x2+bx+c
得:,解得
∴y=x2﹣4x+3;
(2)∵直线l2平行于x轴,
∴y1=y2=y3=m,
①如图①,y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴顶点为D(2,﹣1),
当直线l2经过点D时,m=﹣1;
当直线l2经过点C时,m=3
∵x2>x1>0,
∴﹣1<y3<3,
即﹣1<﹣x3+3<3,
得0<x3<4,
②如图①,当直线l2在x轴的下方时,点Q在点P、N之间,
若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,则得PQ=QN.
∵x2>x1>0,
∴x3﹣x2=x2﹣x1,
即 x3=2x2﹣x1,
∵l2∥x轴,即PQ∥x轴,
∴点P、Q关于抛物线的对称轴l1对称,
又抛物线的对称轴l1为x=2,
∴2﹣x1=x2﹣2,
即x1=4﹣x2,
∴x3=3x2﹣4,
将点Q(x2,y2)的坐标代入y=x2﹣4x+3
得y2=x22﹣4x2+3,又y2=y3=﹣x3+3
∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3,
∴x22﹣4x2=﹣(3x2﹣4)
即 x22﹣x2﹣4=0,解得x2=,(负值已舍去),
∴m=()2﹣4×+3=
如图②,当直线l2在x轴的上方时,点N在点P、Q之间,
若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点,则得PN=NQ.
由上可得点P、Q关于直线l1对称,
∴点N在抛物线的对称轴l1:x=2,
又点N在直线y=﹣x+3上,
∴y3=﹣2+3=1,即m=1.
故m的值为或1.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,与直线交于点,点是轴上的一个动点,设.
(1)若的值最小,求的值;
(2)若直线将分割成两个等腰三角形,请求出的值,并说明理由.
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【题目】小明和小亮玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字,,,现将标有数字的一面朝下.小明和小亮各从中任意抽取一张.计算小明和小亮抽得的两个数字之和,如果和为奇数则小明胜,和为偶数则小亮胜.
求小亮抽到标有数字卡片取胜的概率;
请判断该游戏对双方是否公平?请用列表法或树状图等方法说明理由.
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【题目】如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A、B、C、D,得到四边形ABCD,若AC=10cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为_____.
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【题目】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,求商场共有几种进货方案?
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【题目】如图,已知点在的边上,交于,交于,若添加条件________,则四边形是矩形;若添加条件________,则四边形是菱形;若添加条件________,则四边形是正方形.
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【题目】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草,如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
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【题目】如图,用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD,墙长28m.设AB长为xm,矩形的面积为ym2.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)当AB长为多少米时,所围成的花圃面积最大?最大值是多少?
(3)当花圃的面积为150m2时,AB长为多少米?
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点,,若点满足,,那么称点是点,的融合点.
例如:,,当点满是,时,则点是点,的融合点,
(1)已知点,,,请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
(2)如图,点,点是直线上任意一点,点是点,的融合点.
①试确定与的关系式.
②若直线交轴于点,当为直角三角形时,求点的坐标.
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