Question

1．如图是过A，B，C三点的圆弧，
（1）作出该圆弧所在圆的圆心（要求尺规作图）；
（2）若AB=2，该圆弧所在圆的半径为$\sqrt{2}$，∠ABC=105°，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用过不在同一直线的三点作圆的方法得出圆心的位置即可；
（2）利用垂径定理得出BD的长，结合勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC的长．

解答 解：（1）如图所示：点O即为所求；
                              
（2）如图，∵OD⊥AB，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=1，
又∵OB=$\sqrt{2}$，
∴OD=$\sqrt{O{{B}^{2}-BD}^{2}}$=1，即OD=BD，
∴∠OBD=45°，又∵∠ABC=105°，
∴∠OBC=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BC=2BE=$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了复杂作图以及垂径定理以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理得出OD的长是解题关键．