Question

13．如图所示，正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE于F．
 （1）试说明△ABE∽△DFA；
 （2）求四边形CDFE的面积．

Answer 1

分析 （1）已经有一对直角相等，只需再找一对锐角对应相等即可，由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，问题得证；
（2）四边形CDFE的面积=正方形面积-两个直角三角形面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵AB=2，E是BC的中点，
∴BE=1$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{AF}{1}=\frac{DF}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∵△ABE∽△DFA，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{BE}=\frac{DF}{AB}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{AF}{1}=\frac{DF}{2}$，
∴AF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，DF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴S_{四边形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=2²-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{5}}$$\frac{2}{\sqrt{5}}$=3.2．

点评 此题重点考查相似三角形的判定和性质，涉及分割法求图形的面积问题，有一定的综合性，难度中等．