Question

3．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根据矩形的面积得∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，则可判断AD、BC与半圆相切，根据切线长定理得到DA=DE=3，BF=EF，设CF=x，则BF=EF=3-x，在Rt△DCF中利用勾股定理得到x²+4²=（6-x）²，解得x=$\frac{5}{3}$，然后根据正切的定义求解．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，
∵AB为直径，
∴AD、BC与半圆相切，
而DE切⊙O于点E，
∴DA=DE=3，BF=EF，
设CF=x，则BF=EF=3-x，
∴DF=DE+EF=6-x，
在Rt△DCF中，∵CF²+CD²=DF²，
∴x²+4²=（6-x）²，解得x=$\frac{5}{3}$，
∴tan∠CDF=$\frac{\frac{5}{3}}{4}$=$\frac{5}{12}$．
故答案为$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．