Question

15．如图，ABCD是一四边形小鱼塘，边AD⊥CD，从AC分开后，变成两个相似的三角形小鱼塘，AC⊥BC，若AB，AC的长是方程x²-25x+150=0的根．
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法解方程x²-25x+150=0得到AB=15，AC=10，接着在Rt△ACB中利用勾股定理计算出BC=5$\sqrt{5}$，分类讨论：当△ADC∽△ACB时，利用相似比可计算出CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$；当△ADC∽△BCA，利用相似比可计算出CD=$\frac{50}{3}$；
（2）根据勾股定理，在Rt△ADC中，当CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，计算出AD=$\frac{50}{3}$，当CD=$\frac{50}{3}$时，计算出AD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，然后根据三角形面积公式，利用四边形ABCD的面积=S_△ADC+S_△ABC进行计算．

解答 解：（1）∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°，
解方程x²-25x+150=0得x₁=10，x₂=15，
∴AB=15，AC=10，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
当△ADC∽△ACB时，$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{5\sqrt{5}}$=$\frac{10}{15}$，解得CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
当△ADC∽△BCA，即$\frac{CD}{CA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{10}$=$\frac{10}{15}$，解得CD=$\frac{50}{3}$，
即CD的长为$\frac{10\sqrt{5}}{3}$或$\frac{50}{3}$；
（2）在Rt△ADC中，当CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{50}{3}$，
当CD=$\frac{50}{3}$时，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
所以四边形ABCD的面积=S_△ADC+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{50}{3}$×$\frac{10\sqrt{5}}{3}$+$\frac{1}{2}$×10×5$\sqrt{5}$=$\frac{475\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题考查了相似三角形的应用：利用相似三角形的对应边的比相等计算线段的长．注意分类讨论思想的运用．