Question

20．如图，双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴负半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′点落在OA上，则三角形OAC的面积是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 设BC的延长线交x轴于点D，连接OC，点C（-m，n），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S_△OCD=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{3}{2}$，由AB∥x轴，得点A（a-m，2n），由题意得2n（a-m）=-3，从而得出三角形ABC的面积等于$\frac{1}{2}$an，即可得出答案．

解答 解：设BC的延长线交x轴于点D，
设点C（-m，n），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴CD⊥x轴，
由折叠的性质可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA与x轴负半轴的夹角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CB′=CD}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∴BC=CD，
∴点B（-m，2n），
∵双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$|mn|=$\frac{3}{2}$，
∴S_△OCB′=S_△OCD=$\frac{3}{2}$，
∵AB∥x轴，
∴点A（a-m，2n），
∴2n（a-m）=-3，
∴an-mn=-$\frac{3}{2}$，
∵mn=3
∴an=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$an=$\frac{3}{4}$，
∴S_△OAC=S_△OCB′+S_△ABC=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的求法，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．