Question

已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=2

10

．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）点C是不是也在（2）中的抛物线上，若在请证明，若不在请说明理由；
（4）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=

1

2

S梯形ABCD？若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求出BO即可；
（2）把A、B、D的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）求出C的坐标，把C的坐标代入抛物线的解析式看左、右两边是否相等即可；
（4）过点D作DE⊥X轴于点E，根据勾股定理求出DE，求出BC，根据梯形面积公式求出梯形的面积，求出△PBC的面积，设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|，求出P的纵坐标，代入抛物线求出P的横坐标即可．

解答：解：（1）在Rt△ABO中，AB=2

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，AO=6，
∴BO=

AB2-OA2

=2，
∵点B在x轴的负半轴上，
∴B（-2，0），
答：点B的坐标是（-2，0）．

（2）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
代入得：

c=6 4a-2b+6=0 16a+4b+6=6

解这个方程组得：

a=- 1 2 b=2 c=6

，
∴y=-

1

2

x²+2x+6．
答：经过A、B、D三点的抛物线的解析式是y=-

1

2

x²+2x+6．

（3）由题意，得点C的坐标为（6，0），
∵-

1

2

×62+2×6+6=0，
∴点C在抛物线y=-

1

2

x²+2x+6上．

（4）∵A（0，6），D（4，6），
∴AD=4，
过点D作DE⊥X轴于点E，则四边形DEOA是矩形，有DE=OA=6，AD=OE=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=2

10

，
由勾股定理得：CE=

DC2-DE2

=

(2 10 )2-62

=2，
∴OC=2+4=6，
∴C（6，0），
∵B（-2，0），
∴BC=8，
∴梯形ABCD的面积是

1

2

×（4+8）×6=36，
∵S△PBC=

1

2

S梯形ABCD，
∴S_△PBC=18，
设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|，
∴

1

2

×8×|y|=18，
∴y=±

9

2

，
∴P的坐标是P₁（x，

9

2

），P₂（x，-

9

2

），
代入抛物线得：-

1

2

x²+2x+6=-

9

2

，
∴x₁=-3，x₂=7，
点P₁的坐标为（-3，-

9

2

），（7，-

9

2

），
同理可求得：点P₂的坐标为（2+

7

，

9

2

），（2-

7

，

9

2

）．
答：点P的坐标是（-3，-

9

2

），（7，-

9

2

），（2+

7

，

9

2

），（2-

7

，

9

2

）．

点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质和判定，三角形的面积，等腰梯形的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．