Question

（1）已知关于x的方程ax²+4x-1=0．当a取什么值时，方程有实数根？
（2）已知x₁，x₂是方程x²+mx+m-1=0的两个根，且x₁²+x₂²=17；求m的值．

Answer 1

解：（1）当a=0，方程变形为4x-1=0，解得x=；
当a≠0，方程有实数根，则△=4²-4m×（-1）≥0，解得m≥-4，即m≥-4且m≠0，方程有两个实数根，
所以a≥-4时，方程有实数根；

（2）∵根据题意得x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，
∴（-m）²-2（m-1）=17，
整理得m²-2m-15=0，即（m-5）（m+3）=0，
∴m₁=5，m₂=-3，
当m=5时，方程变为x²+5x+4=0，△=25-4×4＞0，
当m=-3时，方程变为x²-3x-4=0，△=9+4×4＞0，
∴m的值为5或-3．
分析：（1）分类讨论：当a=0，方程变形为4x-1=0，一元一次方程有解；当a≠0，根据△的意义得到△=4²-4m×（-1）≥0，则m≥-4且m≠0，方程有两个实数根，然后综合两种情况得到a的范围为a≥-4；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m-1，变形x₁²+x₂²得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，则（-m）²-2（m-1）=17，解方程得到m₁=5，m₂=-3，然后把m的值代入方程后分别计算△，再确定m的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．