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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且AC平分∠BAD

(1)求证:直线MN是⊙O的切线;

(2)若CD=4AC=5,求⊙O的直径.

【答案】(1)证明见试题解析;(2

【解析】试题分析:(1)直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN,进而得出答案;

2)利用相似三角形的判定与性质得出AB的长.

试题解析:(1)连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠BAD∴∠CAB=∠DAC

∴∠OCA=∠DAC∴OC∥AD∵AD⊥MN∴OC⊥MN

∵OC为半径,∴MN⊙O切线.

2∵∠ADC=90°AC=5DC=4∴AD=3∵AB⊙O的直径,

∴∠ACB=90°∴∠ADC=∠ACB,又∵∠CAB=∠DAC

∴△ADC∽△ACB==,解得:AB=

⊙O的直径长为

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