Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），∠AOB=30°，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），
∴OA=9，
∵∠AOB=30°，
∴tan∠AOB=

3

3

，
∴AB=3

3

，∠B=60°，
∴∠AOB=30°，
∴OB=2AB=6

3

，
由三角形面积公式得：S_△OAB=

1

2

×OA×AB=

1

2

×OB×AM，即9×3

3

=6

3

AM，
∴AM=

9

2

，
∴AD=2×

9

2

=9，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=

1

2

AD=

9

2

，由勾股定理得：DN=

AD2-AN2

=

92-( 9 2 )2

=

9 3

2

，
∵C（2，0），
∴CN=9-

9

2

-2=

5

2

，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=

DN2+CN2

=

( 9 3 2 )2+( 5 2 )2

=

67

，即PA+PC的最小值是

67

．
故答案为：

67

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．