Question

【题目】如图1，有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．

（1）求证：四边形CMPN是菱形；

（2）当P，A重合时，如图2，求MN的长；

（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先利用矩形的性质得出PM∥CN，然后根据平行线的性质和折叠的性质得出PM＝CN，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CMPN是平行四边形，再根据NC＝NP即可证明结论；

（2）设BN＝x，则AN＝NC＝8－x，首先利用勾股定理求出x的值，进而求出NC的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，最后利用菱形的面积公式求解即可；

（3）根据菱形的对称性可知S＝，只要找到菱形CMPN的面积的最大值和最小值即可，又因为S菱形CMPN＝CN·AB，所以只需找到CN的最大值和最小值即可，当点M与点D重合时，此时CN最短，当点P与点A重合时，CN最长，代入计算即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC．

由折叠的性质可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，

∴∠PMN＝∠PNM．

∴PM＝PN．

∵NC＝NP，

∴PM＝CN．

∵MP∥CN，

∴四边形CMPN是平行四边形．

∵NC＝NP，

∴四边形CMPN是菱形．

（2）当点P与点A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8－x．

在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，

即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3．

∴CN＝8－3＝5．

∵四边形CMPN是菱形，AC＝，

∴MN＝．

（3）∵四边形CMPN是菱形，

∴S＝

∵S菱形CMPN＝CN·AB，

∴当点M与点D重合时，如图，此时CN最短，菱形CMPN的面积最小，

∵，四边形CMPN是菱形，

∴四边形CMPN是正方形，

则S最小＝；

当点P与点A重合时，CN最长，菱形CMPN的面积最大，

则S最大＝×5×4＝5．

∴S的取值范围是．