Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是-1，3 （点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x-7上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x-7=-4，
因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
过A（-1，0），B（3，0）
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，
则有：a（3-1）²-4=0，a=1．
则抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）；
易知直线BM的解析式为y=2x-6；
∵当x=t时，y=2t-6；
∴PQ=6-2t；
∴S_{四边形PQAC}=S_梯形QPCO+S_△AOC=×（3+6-2t）×t+×3，即S_{四边形PQAC}=-t²+t+（1＜t＜3）．

（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，设N点坐标为（m，2m-6），则CM²=1²+1²=2，CN²=m²+[-3-（2m-6）]²，或CN²=m²+[（2m-6）+3]²．
MN²=（m-1）²+[4-（6-2m）]²．△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m²+[（6-2m）-3]²=2，
解得m₁=，m₂=1（舍去）．
则N（）．
②若MC=MN，则（m-1）²+[4-（6-2m）]²=1²+1²．
解得m=1±．
∵1＜m＜3，
∴m=1-舍去．
∴N（1+）．
③若NC=NM，则m²+[3-（6-2m）]²=（m-1）²+[4-（6-2m）]²．
解得m=2．
则N（2，-2）．
故存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：，N₃（2，-2）．
分析：（1）根据抛物线与x的两个交点的横坐标可以推知该抛物线的对称轴方程x=1，结合该抛物线的顶点在直线y=3x-7上可以求得该抛物线的顶点坐标是（1，-4）．故可设该抛物线的解析式为顶点式方程y=a（x-1）²-4；最后利用待定系数法可求该抛物线的解析式；
（2）由（1）中的抛物线解析式可以求得点A、B、C的坐标；根据B、M两点的坐标可以求得直线BM的解析式y=2x-6；由该解析式可以求得PQ=6-2t；最后图形可知
S_{四边形PQAC}=S_梯形QPCO+S_△AOC；
（3）利用反证法解答：假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．利用两点间的距离公式分别求得CM、CN、MN的值；然后分类讨论：①MN为底；②CN为底；③CM为底时所求得的点N的坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题．注意：△NMC为等腰三角形时，需要分三种情况进行讨论，以防漏解．