Question

2．如图，已知二次函数y₁=-x²+$\frac{13}{4}$x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y₂=kx+b．
（1）求二次函数y₁的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y₁＜y₂的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；
（2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上．

解答 解：（1）将A点坐标代入y₁，得
-16+13+c=0．
解得c=3，
二次函数y₁的解析式为y=-x²+$\frac{13}{4}$x+3，
B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，y₁＜y₂；
（3）直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
AB的中点为（2，$\frac{3}{2}$）
AB的垂直平分线为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{6}$
当x=0时，y=-$\frac{7}{6}$，P₁（0，-$\frac{7}{6}$），
当y=0时，x=$\frac{7}{8}$，P₂（$\frac{7}{8}$，0），
综上所述：P₁（0，-$\frac{7}{6}$），P₂（$\frac{7}{8}$，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．

点评 本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键．