Question

已知：四边形ABED中，AD⊥DE、BE⊥DE．
（1）如图1，点C是边DE的中点，且AB=2AD=2BE．判断△ABC的形状：

 

（不必说明理由）；
（2）保持图1中△ABC固定不变，将直线DE绕点C旋转到图2中所在的MN的位置（垂线段AD、BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．（2）中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，作CF⊥AB于点F．根据条件可以直接得出△CDA≌△CEB就可以得出AC=BC，∠ACB=90°而得出结论；
（2）如图2，由（1）的结论可以得出△ADC≌△CEB，就可以得出AD=CE，DC=EB进而可以得出结论；
（3）如图3，由（1）的结论可以得出△ADC≌△CEB，就可以得出AD=CE，DC=EB进而可以得出结论；，

解答：解：（1）等腰直角三角形．
理由：作CF⊥AB于点F．
∵AD⊥DE、BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°．
∵点C是边DE的中点，
∴CD=CE．
∵AB=2AD=2BE，
∴AD=BE=

1

2

AB．
在△CDA和△CEB中

AD=BE ∠D=∠E CD=CE

，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AC=BC，∠1=∠2．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠BFC=90°，AF=BF=

1

2

AB．
．∴AF=AD=BF=BE．
在Rt△ADC和Rt△AFC中，

AC=AC AD=AF

，
∴Rt△ADC≌Rt△AFC（HL），
∴∠ACD=∠ACF．
在Rt△BEC和Rt△BFC中

BC=BC BF=BE

，
∴Rt△BEC≌Rt△BFC（HL），
∴∠BCF=∠BCE．
∵∠ACD+∠ACF+∠BCF+∠BCE=180°
∴∠ACD=∠ACF=∠BCF=∠BCE=45°，
∴∠ACB=90°
∴△ACB是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（2）DE=AD+BE；
证明：如图2，
∵∠ACB=∠D=90°，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，

∠D=∠E ∠CAD=∠2 AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，CE=AD，
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD；
（3）DE=BE-AD   
如图3，∵∠ACB=∠D=90°，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠2 AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，CE=AD．
∵DE=DC-CE，
∴DE=BE-AD．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．