【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，在△ABC外侧作∠ACM，使得∠ACM＝
∠ABC，点D是射线CB上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．
（1）当点D与点B重合时，如图1所示，线段DF与EC的数量关系是 ；
（2）当点D运动到CB延长线上某一点时，线段DF和EC是否保持上述数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由．
【答案】（1）DF＝2EC；（2）仍然成立；理由见解析.
【解析】
（1）延长BA、CM交于点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得BF=CN，即可得出结论；
（2）作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明DC=PD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出结论．
（1）DF＝2EC，理由是：
如图1，延长BA、CM交于点N，
∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠AFB＝∠EFC，
∴∠ABE＝∠ACM＝
∠ABC，
∴BE平分∠ABC，
∵BE⊥CN，
∴BC＝BN，
∴E是CN的中点，
∴NC＝2CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝∠CAN＝90°，
∴△BAF≌△CAN(ASA)，
∴BF＝CN，
∴BF＝2EC，即DF＝2EC；
（2）仍然成立，DF＝2EC；
理由如下：如图2，作∠PDE＝22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，
∵DE⊥PC，∠ECD＝67.5，
∴∠EDC＝22.5°，
∴∠PDE＝∠EDC，∠NDC＝45°，
∴∠DPC＝67.5°，
在△DPE和△DEC中，
，
∴△DPE≌△DEC（AAS），
∴PD＝CD，PE＝EC，
∴PC＝2CE，
∵∠NDC＝45°，∠NCD＝45°，
∴∠NCD＝∠NDC，∠DNC＝90°，
∴△NDC是等腰直角三角形
∴ND＝NC且∠DNC＝∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF＝PC，
∴DF＝2CE．
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【题目】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．
（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
三三角形角形 | 角的已知量 |
|
|
图2 | ∠A=2∠B=90° | ||
图3 | ∠A=2∠B=60° |
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）
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【题目】大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件
元，售价为每件
元，每月可卖出
件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨
元每月要少卖
件；售价每下降元每月要多卖
件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为
（元/件）（
即售价上涨，
即售价下降），每月饰品销量为
（件），月利润为
（元）．
直接写出与
之间的函数关系式；
如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
为了使每月利润不少于
元应如何控制销售价格？
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【题目】在平面直角坐标系中，已知点
，
与坐标原点O在同一直线上，且AO=BO，其中m，n满足
．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且
，PA⊥PN，
，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使
，连结BE交AD于点F，恰好有
，点G是CB上一点，且
，连结FG，求证：
．
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【题目】如图，四边形ABCD是一个四边形的草坪，AB与AD垂直，通过测量，获得如下数据：AB＝12m，BC＝14m，AD＝5m，CD＝3
m，请你测算这块草坪的面积．（结果保留准确值）
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【题目】某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式．
（2）当气体体积为1 m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？
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【题目】如图1，在矩形ABCD中，点A(1，1)，B(3，1)，C(3，2)，反比例函数y=
(x>0)的图象经过点D，且与AB相交于点E,
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C、E作直线，求直线CE的解析式；
（3）如图2，将矩形ABCD沿直线CE平移，使得点C与点E重合，求线段BD扫过的面积.
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【题目】如图，AD是△ABC的高线，BD＝CD，点E是AD上一点，BE＝BC，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在点A′位置上，连接AA'，BA′，EA′与AC相交于点H，BA′与AC相交于点F．小夏依据上述条件，写出下列四个结论：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；④∠A′HA＝60°.以上结论中，正确的是（ ）
A.①B.③④C.①②③D.①②④
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【题目】如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）
（1）画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A的对应点A1的坐标.
（2）尺规作图，∠A的角平分线AD，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）.
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