Question

如图，在等边三角形ABC内有一点P，PA=10，PB=8，PC=6，求∠BPC的度数（提示：利用旋转）

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质得到BA=BC，∠ABC=60°，则把△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BDC，连结DC，根据旋转的性质得到BP=BD=8，∠PBD=60°，DC=AP=10，则△PBE为等边三角形，所以∠BPE=60°，PD=PB=8，由于PC=6，PD=8，DC=10，则PC²+PD²=DC²，根据勾股定理的逆定理得到∠DPC=90°，于是有∠BPC=60°+90°=150°．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵把△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BDC，连结DC，如图，
∴BP=BD=8，∠PBD=60°，DC=AP=10，
∴△PBE为等边三角形，
∴∠BPE=60°，PD=PB=8，
在△PDC中，PC=6，PD=8，DC=10，
∵6²+8²=10²，
∴PC²+PD²=DC²，
∴△DCP为直角三角形，
∴∠DPC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．