Question

6．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为坐标原点，与直线l有唯一交点A（4，-4），且直线l不平行于y轴．
（1）求抛物线与直线l的解析式；
（2）点B的坐标为（0，-1），设直线l与y轴交于点C，点P是抛物线上的点．
①过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D，当△BCD～△ACB时，求点P的坐标；
②将△ABC绕AC中点旋转180°，点B落在点B′处，是否存在点P，使S_△B′CP=2S_△ABP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=ax²，把A（4，-4）代入得到a=-$\frac{1}{4}$，直线l为y=kx-4-4k，由由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx-4-4k}\end{array}\right.$，消去y得到x²+4kx-16-16k=0，根据题意△=0，列出方程即可解决问题．
（2））①如图1中，作DM⊥OC于M，直线l交x轴于N．由△BCD～△ACB，得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，求出CD的长，再根据DM∥ON，得到$\frac{DM}{ON}$=$\frac{CD}{CN}$，求出DM得到点P横坐标，由此即可解决问题．
②不存在．过点P作y轴的平行线，交B′C于G，交AB于H，设P（m，-$\frac{1}{4}$m²），根据PG=2PH，列出方程，方程无解，说明这样的点P不存在．

解答 解：（1）由题意设抛物线解析式为y=ax²，把A（4，-4）代入得到a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²，
设直线l的解析式为y=kx+b，A（4，-4）代入得到，b=-4-4k，
∴直线l为y=kx-4-4k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx-4-4k}\end{array}\right.$，消去y得到x²+4kx-16-16k=0，
由题意△=0，
∴16k²+64k+64=0，
∴k²+4k+4=0，
∴k=-2，
∴直线l的解析式为y=-2x+4．

（2）①如图1中，作DM⊥OC于M，直线l交x轴于N．

∵C（0，4），N（2，0），B（0，-1），
∴BC=5，ON=2，AC=4$\sqrt{5}$，CN=2$\sqrt{5}$，
∵△BCD～△ACB，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{5}{4\sqrt{5}}$=$\frac{CD}{5}$，
∴CD=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵DM∥ON，
∴$\frac{DM}{ON}$=$\frac{CD}{CN}$，
∴$\frac{DM}{2}$=$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{4}}{2\sqrt{5}}$，
∴DM=$\frac{5}{4}$，
∴点P的横坐标为$\frac{5}{4}$，
∴x=$\frac{5}{4}$时，y=-$\frac{25}{64}$，
∴点P坐标（$\frac{5}{4}$，-$\frac{25}{64}$）．
②如图2中，不存在．
理由：过点P作y轴的平行线，交B′C于G，交AB于H，设P（m，-$\frac{1}{4}$m²）．

∵S_△B′CP=2S_△ABP，
∴PG=2PH，
由题意B′（4，-1），
∵C（0，4），B（0，-1），A（4，-4），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-1，直线B′C的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+4，
∴G（m，-$\frac{3}{4}$m+4），H（m，-$\frac{3}{4}$m-1），
∴PG=-$\frac{3}{4}$m+4-（-$\frac{1}{4}$m²），PH=-$\frac{1}{4}$m²-（-$\frac{3}{4}$m-1），
∴-$\frac{3}{4}$m+4-（-$\frac{1}{4}$m²）=2[-$\frac{1}{4}$m²-（-$\frac{3}{4}$m-1）]，
整理得3m²-9m+8=0，
∵△=9²-4×3×8=-15＜0，
∴方程无解，
∴不存在这样的点P使得S_△B′CP=2S_△ABP．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、旋转变换、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．