Question

8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，AD是∠A的平分线，则$\frac{CD}{AB-AC}$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AB于E，求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE=6，在直角三角形BED中，根据勾股定理求出DE和CD长，最后代入求出即可．

解答 解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，AB=10，有勾股定理得：BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
如图，过D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
∵由勾股定理得：AC²=AD²-CD²，AE²=AD²-DE²，
∴AE=AC=6，
设CD=x，则BD=8-x，BE=10-x，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=∠AED=90°，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BD²=BE²+DE²，
即（8-x）²=x²+（10-6）²，
解得：x=3，
∴$\frac{CD}{AB-AC}$=$\frac{3}{10-6}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理，角平分线性质，垂直定义的应用，关键是能根据性质求出CD=DE和根据勾股定理求出CD长，题目比较好，是一道具有一定代表性的题目．