Question

10．直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在x轴上，P在线段AB上（含端点），CP的最小值是2．直接写出C点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 分点C在线段OA上（包括端点）、点C在O点左侧以及点C在A点右侧三种情况考虑：①当点C在线段OA上时（包括端点），过点O作OE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，根据一次函数图象上点的坐标特征结合面积法可求出OE的长度，再根据平行线分线段成比例可得出点C横坐标的取值范围；②当点C在O点左侧时，显示CP最小值不可能为2；③当点C在A点右侧时，AC长度最小，由此得出点C横坐标x的取值范围为：6＜x≤8．综上即可得出结论．

解答 解：①当点C在线段OA上时（包括端点），过点O作OE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴OA=6，OB=2$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=3．
∵OE∥CF，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$，
∴当CF=2时，AC=4，此时点C的坐标为（2，0），
∵点P的随意性，
∴此时点C横坐标x的取值范围为：2≤x≤6；
②当点C在O点左侧时，显示CP最小值不可能为2；
③当点C在A点右侧时，AC长度最小，
∴此时点C横坐标x的取值范围为：6＜x≤8．
综上所述：点C横坐标x的取值范围为2≤x≤8．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及平行线分线段成比例，根据点P的随意性找出CP最小值为2的临界点是解题的关键．