Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，连BD，交AC于E．
（1）如图（1），若∠BAC=60°，求$\frac{AE}{BC}$的值；
（2）如图（2），CF⊥AB于F，交BD于G，求证：CG=FG；
（3）若AB=13，tan∠ABC=$\frac{3}{2}$，直接写出EC的长为$\frac{104}{21}$．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABC是等边三角形，得出AC=BC，∠ACB=60°，再证明∠ADC=30°，得出AD=2AC=2BC，由平行线的性质得出$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BC}$=2，即可得出结果；
（2）作CQ∥AB于Q，则$\frac{CQ}{AB}=\frac{CE}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$，$\frac{CG}{FG}=\frac{CQ}{BF}$，证明△CFB∽△DCA，得出对应边成比例$\frac{BF}{AC}=\frac{BC}{AD}$，得出$\frac{CQ}{AB}=\frac{BF}{AC}$，证出CQ=BF，即可得出结论；
（3）作AM⊥nBC于M，则BM=CM，由三角函数得出$\frac{AM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，设AM=3x，则CM=2x，由勾股定理得出方程，解方程求出CM，得出BC，由三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，再由平行线得出比例式$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BC}$，即可求出EC的长．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=60°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=30°，
∴AD=2AC，
∴AD=2BC，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BC}$=2，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{3}$；
（2）证明：作CQ∥AB于Q，如图1所示：
则$\frac{CQ}{AB}=\frac{CE}{AE}$，$\frac{CG}{FG}=\frac{CQ}{BF}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AD}$，∠ACB=∠DAC，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{BC}{AD}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠DAC，
∵CF⊥AB，
∴∠BFC=90°=∠ACD，
∴△CFB∽△DCA，
∴$\frac{BF}{AC}=\frac{BC}{AD}$，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{BF}{AC}$，
∴CQ=BF，
∴$\frac{CG}{FG}=\frac{CQ}{BF}$=1，
∴CG=FG；
（3）解：作AM⊥BC于M，如图2所示：
∵AC=AB=13，
∴BM=CM，∠ACB=∠ABC，
∵tan∠ABC=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠ACM=tan∠ABC=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，
设AM=3x，则CM=2x，
根据勾股定理得：（2x）²+（3x）²=13²，
解得：x=$\sqrt{13}$，
∴CM=2$\sqrt{13}$，
∴BC=2CM=4$\sqrt{13}$，
∵∠DAC=∠ACM，tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{2}$，
∴CD=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{39}{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}+（\frac{39}{2}）^{2}}$=$\frac{13}{2}$$\sqrt{13}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BC}$，
即$\frac{13-EC}{EC}=\frac{\frac{13\sqrt{13}}{2}}{4\sqrt{13}}$，
解得：EC=$\frac{104}{21}$．
故答案为：$\frac{104}{21}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用勾股定理才能得出结果．