Question

1．等腰直角△ABC和⊙O如图①放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动．

（1）①2.5秒或3.5秒后边AB所在的直线与⊙O相切．
②当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，如图②，切点为E，连接OE并延长OE交直线BC于点F，设C′D=x，则FC′=$\sqrt{2}$x（用含x的代数式表示），求点B移动的距离．
（2）现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位的速度沿BA、BC方向增大．
①若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
②是否存在某一时刻，△ABC各边刚好与⊙O都相切？若存在，求出刚好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①直接利用圆心O与直线AB的距离为5，以及⊙O的半径为1和△ABC移动的速度求出答案；
②第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点D，连OD并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）①△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，应为AB与圆相切，路程差为6，速度差为1，故从开始运动到最后一次相切的时间为6秒；
②求出⊙O与△A′B′C′第二次相切时运动的时间，连接B′′O并延长交A′′C′′于点P，则B′′P⊥A′′C′′，求出OP的长即可得出结论．

解答 解：（1）①∵⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5，现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，
∴当移动$\frac{5}{2}$=2.5（秒），或$\frac{7}{2}$=3.5（秒）时，边AB所在的直线与⊙O相切．
故答案为：2.5秒或3.5；

②如图2，由题意可得：C′D=C′E=x，∠A′C′B′=45°，∠OEC′=90°，
则∠OFD=45°，故EF=EC′=x，
则FC′=$\sqrt{2}$x，
∵DO=DF=1，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
解得：x=$\sqrt{2}$-1，
则点B移动的距离为：BB′=CC′=BD-BC-DC′=5-1-（$\sqrt{2}$-1）=5-$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$x；

（2）①设一共经过了t秒，根据题意得：2t-5=t+1，
解得：t=6．
则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过6秒；

②∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，2t+1=t+5，
解得t=4，
∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A′′B′′C′′处，A′′B′′=1+4×$\frac{1}{2}$=3
如图3，连接B′′O并延长交A′′C′′于点P，则B′′P⊥A′′C′′，且OP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，
∴此时⊙O与A′′C′′相交，
∴不存在△ABC各边与⊙O都相切．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及的知识有：圆与直线的位置关系、切线长定理、切线的性质、平移的性质以及等腰直角三角形的性质，利用了数形结合的思想，利用数形结合再利用方程求出是解题关键．