Question

6．如图，已知半径是9的⊙O₁和半径是4的⊙O₂外切，过P点同时作⊙O₁和⊙O₂的切线PM、PN切点分别是A、B、C、D．
（1）求AB的长？
（2）求PB+PC的值？

Answer 1

分析 （1）如图1，连接O₁O₂，O₁B，O₂A，过O₂作O₂E⊥BO₁于E，由PM切⊙O₁，⊙O₂于B，A，得到O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，于是求得四边形ABEO₂是矩形，推出AB=O₂E，BE=AO₂=4，然后根据勾股定理即可得到结果；
（2）如图2，连接PO₁，O₁B，O₂A，由于PM，PN切⊙O₁，⊙O₂于B，A，D，C，得到O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，PA=PC，求得O₁B∥AO₂，推出△PAO₂∽△PBO₁，列出比例式即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接O₁O₂，O₁B，O₂A，过O₂作O₂E⊥BO₁于E，
∵PM切⊙O₁，⊙O₂于B，A，
∴O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，
∴四边形ABEO₂是矩形，
∴AB=O₂E，BE=AO₂=4，
∴EO₁=9-4=5，
∵⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=9+4=13，
∴O₂E²=O₁O₂²-O₁E²，
∴O₁E=12，
∴AB=12；

（2）如图2，连接PO₁，O₁B，O₂A，
∵PM，PN切⊙O₁，⊙O₂于B，A，D，C，
∴O₁B⊥AB，O₂A⊥AB，PA=PC，
∴P，O₁，O₂在同一条直线上，O₁B∥AO₂，
∴△PAO₂∽△PBO₁，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{A{O}_{2}}{B{O}_{1}}$，
即$\frac{PA}{PA+12}=\frac{4}{9}$，
∴PA=$\frac{48}{5}$，
∴PC=$\frac{48}{5}$，PB=$\frac{48}{5}$+12=$\frac{108}{5}$，
∴PB+PC=$\frac{48}{5}$+$\frac{108}{5}$=$\frac{156}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，相切两圆的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．