Question

2．如图，过反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）于点B，过B作BC∥OA交双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E．若OC=3，求OE的长．

Answer 1

分析 先连接OB，根据比例系数k的几何意义，求得OF=3，由此得到A（2，3），B（-1，3），再求得直线OA的解析式为y=$\frac{3}{2}$x，直线BC为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，再根据解方程组可得D（-2，$\frac{3}{2}$），最后运用待定系数法求得AD解析式为y=$\frac{3}{8}$x+$\frac{9}{4}$，进而得到点E的坐标即可．

解答 解：如图所示，连接OB，则△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×|-3|+$\frac{1}{2}$×|6|=$\frac{9}{2}$，
由AB∥CO，AO∥BC，可得四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=CO=3，
∴由$\frac{1}{2}$×AB×OF=$\frac{9}{2}$，可得OF=3，
在y=$\frac{6}{x}$（x＞0）中，令y=3，可得x=2，即A（2，3），
在y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）中，令y=3，可得x=-1，即B（-1，3），
由A（2，3）可得，直线OA的解析式为y=$\frac{3}{2}$x，
可设直线BC为y=$\frac{3}{2}$x+b，则将B（-1，3）代入可得
3=-$\frac{3}{2}$+b，解得b=$\frac{9}{2}$，
故BC为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，可得D（-2，$\frac{3}{2}$），
设直线AD解析式为y=mx+n，则
将D（-2，$\frac{3}{2}$），A（2，3）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{3=2m+n}\\{\frac{3}{2}=-2m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{8}}\\{n=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴AD解析式为y=$\frac{3}{8}$x+$\frac{9}{4}$，
令x=0，则y=$\frac{9}{4}$，即E（0，$\frac{9}{4}$），
∴OE的长为$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积计算等，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．