Question

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+3x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A坐标为（1，0），对称轴与x轴交于H，顶点为D，AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为对称轴左侧抛物线上的点，直线MN过点H交抛物线于另一点N，连接DM、DN，求证：∠MDN=90°；
（3）在（2）的条件下，过M点作y轴的平行线交直线DN于点E，若DE=$\frac{10}{3}$，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可知B（5，0），A（1，0）可以假设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），展开后对应项系数相等即可解决问题．
（2）如图1中，过点D作直线FG⊥DH，分别过M、N作NG⊥FG，MF⊥FG垂足分别为G、F．设过点H（3，0）的直线MN的解析式为y=kx+m，则m=-3k，想办法证明
Rt△DMF∽Rt△NDG，即可解决问题．
（3）如图2中，由（2）可知，F（x₁，2），△DEF∽△MDF，推出$\frac{EF}{DF}$=$\frac{DF}{FM}$，即EF•FM=DF²，由M（x₁，y₁）在抛物线上，可得y₁=-$\frac{1}{2}$x₁²+3x₁-$\frac{5}{2}$，所以FM=2-y₁=$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$，因为DF=3-x₁，所以DF²=x₁²-6x₁+9=2（$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$）=2FM，所以EF•FM=2FM，推出EF=2，当DE=$\frac{10}{3}$时，DF=$\sqrt{D{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，x₁=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，再求出y₁即可解决问题．

解答 解：（1）∵A（1，0），AB=4，直线AH为抛物线的对称轴，∴AH=HB=2，B（5，0），
可以假设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
∴y=ax²-6ax+5a=ax²+3x+c，
∴-6a=3，c=5a，
∴a=-$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{5}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$．

（2）如图1中，

∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
∴D（3，2），H（3，0），
过点D作直线FG⊥DH，分别过M、N作NG⊥FG，MF⊥FG垂足分别为G、F．
设过点H（3，0）的直线MN的解析式为y=kx+m，则m=-3k，
∴MN的解析式为y=kx-3k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3k}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2k-6）x+5-6k=0，
记M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=6-2k，x₁x₂=5-6k，
∴（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5-6k+6k-9=-4，
∵M、N在直线y=kx-3k上，
∴y₁=kx₁-3k，y₂=kx₂-3k，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6k=k（6-2k）-6k=-2k²，
y₁•y₂=（kx₁-3k）（kx₂-3k）=k²（x₁-3）（x₂-3）=-4k²，
∵D（3，2），
∴F（x₁，2），G（x₂，2），
∴FM=2-y₁，N=2-y₂，FD=3-x₁，DG=x₂-3，
∴FM•GN-DF•DG=（2-y₁）（2-y₂）-（3-X₁）（x₂-3）=4-2（y₁+y₂）+y₁y₂-4=4-2（-2k²）-4k²-4=0，
∴FM•GN=DF•DG，
∴$\frac{DF}{FM}$=$\frac{NG}{DG}$，
∴Rt△DMF∽Rt△NDG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠MDN=90°．

（3）如图2中，由（2）可知，F（x₁，2），

∵MD⊥DE，DF⊥EM可知△DEF∽△MDF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{DF}{FM}$，
∴EF•FM=DF²，
∵M（x₁，y₁）在抛物线上，
∴y₁=-$\frac{1}{2}$x₁²+3x₁-$\frac{5}{2}$，
∴FM=2-y₁=$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$，
∵DF=3-x₁，
∴DF²=x₁²-6x₁+9=2（$\frac{1}{2}$x₁²-3x₁+$\frac{9}{2}$）=2FM，
∴EF•FM=2FM，
∴EF=2，当DE=$\frac{10}{3}$时，DF=$\sqrt{D{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴x₁=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，y₁=-$\frac{1}{2}$（x₁-1）（x₁-5）=-$\frac{14}{9}$，
∴M（$\frac{1}{3}$，-$\frac{14}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题，待定系数法、一次函数、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，题目比较难，有一定的代数化简技巧，属于中考压轴题．