Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF、CF，∠D=∠BFC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，EF=2．
①求⊙O的半径；
②设AD=x，FD=y，求x，y的值．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）由OD⊥AC，∠D=∠BFC与圆周角定理，易求得∠EAD+∠BAC=90°，即可证得AD是⊙O的切线；
（2）①利用垂径定理得到EC=

1

2

AC；然后在直角△OEA中，利用勾股定理来求FC的长度即可；
②在Rt△OAD和Rt△AED中，利用勾股定理列出关于x、y的方程，联立方程组，解方程组即可．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠D=90°，
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠BAC，
∴∠BAC=∠D，
∴∠EAD+∠BAC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；

（2）①设⊙O的半径为r．
∵AC是弦，OD⊥AC于点E，AC=8，
∴EC=

1

2

AC=4，
∴在直角△OEA中，由勾股定理得到：r²=（r-2）²=4²，
解得 r=5．
即⊙O的半径是5；
②在Rt△OAD和Rt△AED中得到：

x2=(y+5)2-52 x2=(y+2)2+42

，
解得

x= 20 3 y= 10 3

．

点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．