Question

7．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD=$\frac{2}{3}$，BD=$\sqrt{5}$，则CD为1或5．

Answer 1

分析 分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在Rt△ABD中由cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，可设设AD=2x，则AB=3x，结合BD的长根据勾股定理可得$9{x}^{2}=4{x}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}$，求得x的值后即可得AB=AC=3，AD=2，在锐角三角形中CD=AC-AD，在钝角三角形中CD=AC+AD即可得答案．

解答 解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，

∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴设AD=2x，则AB=3x，
∵AB²=AD²+BD²，
∴$9{x}^{2}=4{x}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}$，
解得：x=1或x=-1（舍），
∴AB=AC=3x=3，AD=2x=2，
∴CD=AC-AD=1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，

由①知，AD=2x=2，AB=AC=3x=3，
∴CD=AC+AD=5，
故答案为：1或5．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是根据三角形的形状分类讨论．