Question

5．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连结CD，恰好AC=DC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ADC，∠B=∠ODB，由∠A+∠B=90°，得出∠ADC+∠ODB=90°，因此∠ODC=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=DC，OD=OB，
∴∠A=∠ADC，∠B=∠ODB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADC+∠ODB=90°，
∴∠ODC=90°，
即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=3，BC=5，
∴CD=3，OB=OD=r，OC=5-r，
∵∠ODC=90°，
∴CD²+OD²=OC²，
即3²+r²=（5-r）²，
解得：r=1.6；
即⊙O的半径r=1.6．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键．