Question

2．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根x₁，x₂恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为$\sqrt{5}$，求k．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式△＜0得到关于k的一元一次不等式，通过解不等式求得k的取值范围；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，依题意x₁²+x₂²=$\sqrt{5}$，又根据根与系数的关系可以得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，这样利用这些等式变形即可求解．

解答 解：（1）依题意△=[-（k+1）]²-4×1×（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0，
∴k≥$\frac{3}{2}$；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，
依题意x₁²+x₂²=（$\sqrt{5}$）²，
∵x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，
整理得：k²+4k-12=0，
∴k=-6或k=2，
当k=-6时，x₁+x₂=k+1=-5＜0，舍去，
∴k=2．

点评 此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用各与系数的关系确定k的值．