Question

如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是           ；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．

Answer 1

（1）BG=AE，理由见解析；（2）①成立，理由见解析；②.

试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论.
（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
试题解析：（1）BG=AE．理由如下：
如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD="CD." ∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG．
在△ADE和△BDG中，∵DC＝DB，∠ADC＝∠ADB，DE＝DG，∴△ADE≌△BDG（SAS）.∴BG=AE．
（2）①成立．理由如下：
如图2，连接AD，
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC. ∴∠ADG+∠GDB=90°．        
∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°.∴∠ADG+∠ADE=90°.∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，∵BD＝AD，∠BDG＝∠ADE，GD＝ED，∴△BDG≌△ADE（SAS）.∴DG=AE.

②∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．
∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得.