Question

13．一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，
（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．
（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作$\overline{xyz}$，三位数$\overline{xyz}$可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”$\overline{xyz}$是“友好数”时，则z=2x．

Answer 1

分析 （1）根据“友好数”的定义说明即可；
（2）先根据三位数$\overline{xyz}$是“和平数”，得出y=x+z．再由$\overline{xyz}$是“友好数”，得出10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y=100x+10y+z，化简即为12y=78x-21z．把y=x+z代入，整理即可得出z=2x．

解答 （1）解：123不是“友好数”．理由如下：
∵12+21+13+31+23+32=132≠123，
∴123不是“友好数”；

（2）证明：∵三位数$\overline{xyz}$是“和平数”，
∴y=x+z．
∵$\overline{xyz}$是“友好数”，
∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y=100x+10y+z，
∴22x+22y+22z=100x+10y+z，
∴12y=78x-21z．
把y=x+z代入，得12x+12z=78x-21z，
∴33z=66x，
∴z=2x．

点评 本题考查了分解因式的实际运用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关键是理解“友好数”与“和平数”的定义．