Question

4．在平面直角坐标系中，对点（x，y）的一次操作变换记为P₁（x，y），定义其变换法则如下：P₁（x，y）=（x+y，x-y），且规定P_n（x，y）=P₁（P_n-1（x，y）），（n为大于1的整数）．例如：P₁（1，2）=（3，-1），P₂（1，2）=P₁（P₁（1，2））=P₁（3，-1）=（2，4），P₃（1，2）=P₁（P₂（1，2））=P₁（2，4）=（6，-2），则P₂₀₁₁（1，-1）=（0，2¹⁰⁰⁶）．

Answer 1

分析 根据题目中的新定义，可以算出P_n（1，-1）的前几项，然后观察，可以总结出横纵坐标的规律，从而可以解答本题．

解答 解：根据题目中的新定义可得：
P₁（1，-1）=（0，2），
P₂（1，-1）=（2，-2），
P₃（1，-1）=（0，4），
P₄（1，-1）=（4，-4），
P₅（1，-1）=（0，8），
P₆（1，-1）=（8，-8）．
由上面可以发现当点P_n的右下角n为奇数时，横坐标都为0，纵坐标为${2}^{\frac{n+1}{2}}$；当点P_n的右下角n为偶数数时，横坐标都为${2}^{\frac{n}{2}}$，纵坐标都为-${2}^{\frac{n}{2}}$．
故${P}_{2011}（1，-1）=（0，{2}^{\frac{2011+1}{2}}）$=（0，2¹⁰⁰⁶）．
故答案为：（0，2¹⁰⁰⁶）．

点评 本题考查规律性：点的坐标，解题的关键是先写出点P_n的前几项，能发现其中的规律．