Question

如图所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：第一次先在圆周上标出

1

9

，

2

9

两个数（如图1）；第二次又在第一次标出的两个之间的圆周上，分别标出这两个数的和（如图2）；第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上，分别标出相邻两数的和（如图3）；按此规则，依此类推，一直标下去．

（1）设n是正整数，记第n次标完数字后，圆周上所有数字的和为S_n，猜想并写出S_n与S_n-1的关系；
（2）求S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，S=

3

9

，当n=2时，S=

9

9

，当n=3时，S=

27

9

，由此可知每次标玩后的和是前一次标完后的和的3倍，即可推出S_n与S_n-1的关系；
（2）根据（1）所推出的结论可知，第n次标完后，S_n=3^n-2，所以S₂₀₁₀的值为3²⁰⁰⁸．

解答：解：（1）∵当n=1时，S₁=

3

9

，
当n=2时，S₂=

9

9

，
当n=3时，S₃=

27

9

，
∴3S₁=S₂，3S₂=S₃，S_n=3^n-2，
∴S_n=3S_n-1，
（2）∵S_n=3^n-2，
∴S₂₀₁₀=3²⁰⁰⁸．

点评：本题主要考查分析总结归纳能力，关键在于通过计算每次标注完的和，由数的变化推出数的变化规律．