Question

【题目】如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连结．下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由翻折的性质可得AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF，由“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；由全等三角形对应边相等可得BG＝FG，再求出DE的长，设BG＝x，得出CG、EG，由勾股定理列出方程求出x，得出BG＝FG＝CG，得出②正确；由等边对等角可得∠GCF＝∠GFC，由全等三角形对应角相等可得∠AGB＝∠AGF，由三角形的外角性质得出∠BGF＝∠GCF＋∠GFC，得出∠AGB＝∠GCF＝∠GFC，得出③正确；然后求出△CEG的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△CEF的面积，得出④错误，即可求解．

解：∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AB＝AF，AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴BG＝FG，
∵AB＝6，CD＝3DE，
∴DE＝2，CE＝62＝4，
设BG＝x，则CG＝6x，EG＝x＋2，
在Rt△CEG中，CG2＋CE2＝EG2，
即（6x）2＋42＝（x＋2）2，
解得：x＝3，
∴BG＝FG＝CG＝3，故②正确；
∴∠GCF＝∠GFC，
由Rt△ABG≌Rt△AFG得，∠AGB＝∠AGF，
由三角形的外角性质，∠BGF＝∠GCF＋∠GFC，
∴∠AGB＝∠GCF＝∠GFC，
故③正确；

∵EF=DE=2，FG=3，则GE=5，

∴S△CEF=S△GCE，
∵S△GCE＝×GC×EC＝6
∴S△CEF＝×6＝，故④错误；
故答案为：①②③．