Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连结OE，根据BE平分∠ABC，可得∠CBE＝∠ABE，证明OE∥BC，进而可以证明AC是⊙O的切线；

（2）连结DE，根据BE平分∠ABC，AC⊥BC，EH⊥AB，可得CE＝EH，再证明Rt△CDE≌△Rt△HFE，得CD＝HF，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理即可求得BE的长．

解：（1）连结OE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE＝∠ABE，

又∵OB＝OE，

∴∠ABE＝∠BEO，

∴∠CBE＝∠BEO，

∴OE∥BC，

∵∠C＝90°，即AC⊥BC，

∴OE⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）连结DE，

∵BE平分∠ABC，AC⊥BC，EH⊥AB，

∴CE＝EH，DE＝EF，

∴Rt△CDE≌△Rt△HFE（HL），

∴CD＝HF，

∵CD＝1，

∴HF＝1，

∵OE2＝OH2+HE2，

∴OE2＝（OE﹣1）2+32，

∴OE＝5，

∴BH＝9，

∴．