Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，

将B点坐标代入函数解析式，得

（5﹣1）2a﹣1=3，

解得a=．

故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1

（2）

由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，

OA2+AB2=OB2，

∴∠OAB=90°，

O到直线AB的距离是OA=

（3）

设M（a，b），N（a，0）

当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

D（3，0），DN=3﹣a．

①当△MND∽△OAB时，=，即=，

化简，得4b=a﹣3 ①

M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②

联立①②，得，

解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，

M1（﹣2，），

当△MND∽△BAO时，=，即=，

化简，得b=12﹣4a ③，

联立②③，得，

解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，

M2（﹣17，80）．

综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）

【解析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB等于90°，根据点到直线的距离的定义，可得答案；
（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标